论坛: 编程破解 标题: 求证:a/b=1/x+1/y 复制本贴地址    
作者: 烟雨平生 [lida1818]    论坛用户   登录
有个类似“埃及分数”的问题,我想求证以下命题是真是假:



给定一任意分数:  a/b  (a,b为自然数,且a<b, [a,b为已知道数])

求证:  a/b = 1/x +  1/y  x,y一定有自然数解(同时)是真命题



数学太差无法证明,有待高手帮忙

地主 发表时间: 04-07-28 21:28

回复: 烟雨平生 [lida1818]   论坛用户   登录
不是编程穷举,是证明它是真是假(除了穷举法)

B1层 发表时间: 04-07-28 21:30

回复: maomao520 [maomao520]   论坛用户   登录
我靠,我高中的时候自己认为数学还可以,但是我再怎么也学完高中啊,没上过大学,连题都看不懂,好惨

B2层 发表时间: 04-07-31 08:53

回复: 远山之城 [ysfilone]   论坛用户   登录
这个 一看 就知道 是真的


哪里还用证明 阿

B3层 发表时间: 04-07-31 17:34

回复: 大白菜 [xuwudi2004]   论坛用户   登录
不用编程穷举法还有什么方法呀?

B4层 发表时间: 04-08-01 22:36

回复: 流浪重考生 [fcyk]   论坛用户   登录
你可以用数学的假设法来做:
    使1/x+1/y=a/b=>(x+y)/xy=a/b;
    我们假设你要的结果成立,既x,y都成立
    因为a,b为自然数,且a,b所以我们从公式中得出两个方程:x+y=ka且xy=kb(k为自然数);
    从上得方程:y*y-kay+kb=0;我们设Y=y*y-kay+kb,所以△=k*k*a*a-4kb;
    因为(x+y)*(x+y)>=4xy{这个公式你不知道就没办法了}所以△>0,及Y恒有解,所以y有不
    为0的实根,同理得x也有实根。所以假设为真。
    附:(a<b)的条件我没用上,估计和证明x,y不等于0有关,因为时间问题,且在上班不能再
    想,你再请教别人下

B5层 发表时间: 04-08-02 10:58

回复: maomao520 [maomao520]   论坛用户   登录
高手

B6层 发表时间: 04-08-02 15:21

回复: 无眠 [madmadmad]   论坛用户   登录
这个命题应该是错误的:特例法
既然要求的是任意的自然数。取a=99,b=100。由于a<b,所以x和y都不可以取1的。只能够取2或2以后的数字。如果x和y都取3或3以后的数字。那么它们最大也只能是1/3+1/3=2/3。显然是不可能满足的。那么现在x或y中必须有一个取2。但是取2以后:99/100-1/2=49/100。假设x取了1/2,那么1/y就等于49/100。于是y就是100/49了,显然不是自然数。
to:流浪重考生 [fcyk]
要证明的结论是x和y对于任意a/b存在。你先就用了存在的假设,结果当然是△>=0。如果这样的a
和b根本就不存在,那你用的哪个方程本来就不可能产生了。所以你的结果也与a<b无关。没有用到这个条件。
其实这是一个类似埃及分数的分解项个数的问题。只是在你这个命题中你把它的条件宽松了。在埃及分数中。分解项的分母必须是不同的。比如:2/3=1/3+1/3这样是不可以的。
看下面的话:No algorithm is known for producing unit fraction representations having either a minimum number of terms or smallest possible denominator (Hoffman 1998, p. 155). However, there are a number of algorithms (including the binary remainder method, continued fraction unit fraction algorithm, generalized remainder method, greedy algorithm, reverse greedy algorithm, small multiple method, and splitting algorithm) for decomposing an arbitrary fraction into unit fractions. In 1202, Fibonacci published an algorithm for constructing unit fraction representations, and this algorithm was subsequently rediscovered by Sylvester  (Hoffman 1998, p. 154; Martin 1999). 注意第一句中的“either a minimum number of terms”。
这里更多关于埃及分数的研究,http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/有很都问题没有解决。
注:
0是自然数吗?
(2002-11-25 14:59:15)
随着义务教材(试用修订版)的使用,现在许多教师和同学询问关于0是不是自然数的问题。现予以解答如下:
从历史上看,国内和国外对于0是不是自然数历来有两种规定:一种规定0是自然数,另一种规定0不是自然数。建国以来,我们国家的中小学教材一直规定自然数集合不包括0。
现在,国外的数学界,大部分都是规定0是自然数,为了国际交流的方便,《国家标准》中规定,自然数集包括0。因此,在我们新出版的教材中,按照《国家标准》进行了这样的处理,原来的自然数集合现在称为正整数集。同时,我们也按照国家标准的规定规范使用了一些数学符号的表示方法。
从使用上看,规定自然数集合是否包括0并无太大影响。作为序数,从0开始和从1开始是一样的;以前我们所说的n∈N,现在只要说n是正整数就可以了。
可参考国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准——量和单位》(GB3100-3102-93,1993/12/27发布,1994/07/01实施)
人民教育出版社中学数学室


所以最好用正整数来作为要求。







B7层 发表时间: 04-08-04 01:51

回复: 烟雨平生 [lida1818]   论坛用户   登录
茅塞顿开!谢谢楼上的!
我思路有问题,纠缠于a,b,x,y之间。没想到“特例法”,哈哈,“特例法”。
再次谢谢!

B8层 发表时间: 04-08-04 08:01

回复: 流浪重考生 [fcyk]   论坛用户   登录
多谢指点,因为我不懂什么叫埃及函数,但是我还是认为我在纯数学的技术中用的反证法没用错。可能我忽视了0的存在。反正法:1设定命题为真;2用命题为条件进行证明结果;3所得结果若和要求结果一致,则命题为真,反之为假。
可能我在一些地方有什么疏忽,请帮我详细说下,我好改正。

B9层 发表时间: 04-08-04 08:53

回复: 烟雨平生 [lida1818]   论坛用户   登录
埃及分數問題


  古代的埃及人認為,將一個正分數表示成分子為 1 且彼此不同的
正分數之和,是一種非常好的事,事實上,就表示法本身而言,實在
看不出它有任何特別用途,不過,這件事倒是提供了一個數學問題:

是不是每個正分數都可以這樣表示以及如何求出一個表示法?


 



B10层 发表时间: 04-08-04 09:17

回复: 一穷二白 [rain_night]   论坛用户   登录
我的观点:因为A,B为自然数,所以A/B为有理数,一个有理数肯定能分解成两个有理数之和的.

B11层 发表时间: 04-08-04 10:27

回复: 地圣独行 [lqfrla]   论坛用户   登录
不懂

B12层 发表时间: 04-08-04 10:52

回复: 无眠 [madmadmad]   论坛用户   登录
to:流浪重考生 [fcyk]
指点就不敢当了。大家一起学习。你说的假设法没有错误,在很多地方用到。但一般是这样用的:要证明一个命题的真或假。首先假设它是真的(其实也可以假设它是假的,只是人们习惯
了假设它为真),在这个前提下得到一些结论。然后再与已经存在的条件或者已经证明是真的
事实进行比较。看是否得到相反的结论。
在你用的假设法中,要证明对于任意的a/b存在x和y。你首先假设了这样的x和y是存在的。这样没有错。其实你得到的△>=0就是在你已经假设这样的x和y存在的前提下得到的。即已经知道x和y 存在,然后用x和y的关系式构造了一个方程(这个关系式是由你要证明的问题转变得到的),那样是肯定有解的了。与你想证明的结论没有联系上。
任何一个正的真分数都可以表示成1/x+1/y+1/z+。。。。。。。。1/n(项数不确定)
现在人们研究的是它表示的项的多少的问题,比如最少要几项才能够完成。表示项中的分母是奇数,还是偶数。。。到底怎样表示更好。


B13层 发表时间: 04-08-04 15:49

回复: 流浪重考生 [fcyk]   论坛用户   登录
可以请问你的年龄吗?多谢指点

B14层 发表时间: 04-08-05 08:12

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